Dasar Aljabar Boolean
Aljabar Boolean erat hubungannya dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Aljabar Boolean memiliki fungsi yang terdiri dari variabel-variabel biner yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran yang memiliki konstanta 0 dan 1, serta simbol-simbol operasi logik tertentu. Tabel kebenaran dalam sebusah fungsi Boolean terdiri dari daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar Boolean bekerja dengan himpunan {0, 1} pada operasi dan aturan tertentu. Gerbang-gerbang logika erat kaitannya Aljabar Boole, karena biasa digunakan untuk menyatakan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner dengan operator tententu. Logika kombinasi merupakan suatu rangkaian digital yang mempergunakan 2 atau lebih gerbang-gerbang logika.
Gerbang logika merupakan rangkaian dengan satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. Kombinasi beberapa gerbang logika dapat menjadi suatu rangkaian digital yang sangat komplek. Pada dasarnya kompleksitas suatu rangkaian digital dapat diserderhanakan sehingga rangkaian digital tersebut dapat memanfaatkkan gerbang yang lebih sedikit.
Beberapa operasi rangkaian logika dasar yang biasa digunakan dalam fungsi Boolean, diantaranya adalah : INVERTER / INVERS / NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR. Gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya memiliki satu sinyal keluaran. Sedangkan gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah.
Aljabar Boolean mempunyai aplikasi yang luas dalam kehidupan, antara lain dalam bidang jaringan pensaklaran dan rangkaian digital. Dalam jaringan persaklaran Aljabar Boolean biasa menggambarkan saklar dalam keadaan tertutup dan terbuka, serta hubungannya dalam bentuk seri dan paralel.
Suatu rangkaian digital dengan kompleksitas yang tinggi dapat diserderhanakan sehingga rangkaian digital tersebut dapat memanfaatkkan gerbang yang lebih sedikit. Penyedeerhanaan yang biasa digunakan dalam rangkaian digital dikenal dengan teknik reduksi. Teknik Reduksi yang sering dipakai yaitu dengan memakai aljabar Bolean dengan teorema De Morgan, Peta Karnough.
A. Operasi – operasi Logika Dasar
Dalam rangkaian logika terdapat operasi dasar untuk menunjukkan suatu perilaku dari operasi-operasi tersebut, operasi ini biasanya ditunjukkan dengan menggunakan suatu tabel kebenaran. Tabel kebenaran berisi statemen-statemen bernilai TRUE(T) and FALSE(F) yang dalam tabel dilambangkan dengan “1” untuk TRUE(benar) dan “0” untuk FALSE(salah).
Berikut operasi-operasi dasar logika yang dijelaskan dengan tabel kebenaran :
Operasi INVERS (NOT)
Operasi INVERS / NOT merupakan suatu operasi yang menghasilkan keluaran nilai kebalikannya. Operasi INVERS / NOT dilambangkan dengan tanda ( ¯ ) diatas variabel atau tanda single apostrope ( ‘ ). Operasi ini akan mengubah logik 1(benar) menjadi 0(salah) dan sebaliknya, akan mengubah logik 0(salah) menjadi logik 1(benar).
Tabel kebenaran untuk operasi INVERS / NOT:
A
|
a’
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Operasi AND
Operasi AND merupakan operasi boolean yang yang akan memghasilkan nilai 1 ketika dipasangkan dengan 1 pula. Operasi AND dilambangkan dengan dot ( . ). Operasi ini hanya akan menghasilkan nilai benar jika kedua variabel bernilai benar, selain itu akan bernilai salah.
Tabel kebenaran untuk operasi AND:
a
|
B
|
a.b
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Operasi OR
Operasi OR merupakan operasi yang hanya akan menghasilkan nilai benar(1) jika salah satu variabelnya bernilai benar(1) serta akan menghasilkan nilai salah jika kedua variabelnya bernilai salah. Operasi OR dilambangkan dengan plus (+).
Tabel kebenaran untuk operasi OR:
a
|
b
|
a+b
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Operasi Turunan
Operasi logika NOR
Operasi NOR merupakan perpaduan dari operasi OR dan INVERS / NOT. Operasi NOR kan menghasilkan keluaran OR yang di inverskan. Operasi NOR mempunyai dua buah lambang yaitu lambang OR (+) dan INVERS / NOT ( ‘ ).
Tabel kebenaran untuk operasi NOR :
a
|
B
|
(a+b)’
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Operasi logika NAND
Operasi NAND merupakan perpaduan dari operasi AND dan INVERS / NOT. Operasi NAND akan menghasilkan keluaran AND yang di inverskan. Operasi NAND mempunyai dua buah lambang yaitu lambang AND ( . ) dan INVERS / NOT ( ‘ ).
Tabel kebenaran untuk operasi NOR :
a
|
B
|
(a.b)’
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Operasi logika EXOR
EXOR berarti exklusive OR berarti “yang satu atau yang satunya tapi tidak keduanya”. Operasi XOR akan menghasilkan keluaran 1(benar) jika jumlah masukan yang bernilai 1(benar) berjumlah ganjil. Operasi XOR merupakan hasil dari (a’.b) + (a.b’) atau biasa ditulis a b. Tabel kebenaran untuk operasi XOR:
a
|
b
|
a’.b + a.b’
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Operasi logika EXNOR
EXNOR berarti exklusive NOR berarti “yang satu atau yang satunya tapi tidak keduanya”. Operasi ini akan menghasilkan keluaran 1(benar) jika jumlah masukan yang bernilai 1(benar) berjumlah genap atau tidak ada sama sekali. Operasi XOR merupakan hasil dari a’+b . a+b’ atau biasa ditulis a’ b’ atau (a b)’.
Tabel kebenaran untuk operasi EXNOR:
a
|
b
|
a’+b . a+b’
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
B. Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran merupakan tabel yang menunjukkan kombinasi dari variabel input dan variabel output pada suatu kasus logika tertentu. Tabel kebenaran biasa digunakan untuk menganalisa suatu fungsi logika karena dapat mempermudah pemahaman.
Perhatikan contoh berikut:
Tunjukan nilai kebenaran dari suatu fungsi B = a’bc + ab’c + abc’ !
a
|
b
|
c
|
a’
|
b’
|
c’
|
ab
|
bc
|
a’bc
|
ab’c
|
abc’
| |
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
ALJABAR BOOLE
1. Definisi
Aljabar Boole Mempunyai 2 fungsi yang saling berhubungan. Aljabar boole dibahas sebagai suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan-aturan tertentu.
Aljabar Boole adalah sistem aljabar yang berisi set S dengan dua operasi penjumlahan yang dilambangkan dengan tanda tambah (+) dan perkalian yang dilambangkan dengan tanda titik (.). Pada prinsipnya, materi aljabar boole mirip dengan materi tentang Proposisi.
Perbedaan antara Proposisi dengan Aljabar Boole adalah :
∙ Pada pernyataan proposisi, penulisan nilai sebuah pernyataan dapat ditulis dengan “B” untuk Benar dan “S” untuk Salah. Sedang pada pernyataan aljabar boole, Penulisan nilai kebenaran ditulis dengan “1” untuk nilai Benar dan “0” untuk Salah. Sebagai catatan tambahan, penggunaan “1” untuk Benar dan”0” untuk Salah ini dikenal dengan istilah Logic High atau menyatakan nilai logika dengan “Logika Tinggi”. Sebaliknya, dengan menggunakan Logic Low, nilai Benar akan menggunakan “0” dan Salah menggunakan “1”.
∙ Operasi-operasi menggunakan logika yang sama, namun notasinya berbeda.
2. Operator Logika pada Aljabar Boole.
Pada Aljabar Boole juga dikenal operasi-operasi logika seperti pada materi proposisi. Disini juga dibedakan antara operasi dasar dengan operasi turunan. Kesemuanya menggunakan notasi masing-masing untuk operator logikanya.
2.1.Operator Dasar.
Ada tiga operator dasar yang terdiri dua buah operator binary, yaitu operator AND (untuk logika DAN) dan operator OR(untuk logika ATAU), dan sebuah operator unary, yaitu operator NOT (untuk logika NEGASI). Ketiganya dapat dijelaskan sebagai berikut :
a. Operator AND.
Notasi Aljabar Boolenya adalah sebuah titik (.). Sebagai perbandingan, pada Proposisi notasinya adalah “^”.
Contoh :
“p dan q” ditulis p.q atau bisa juga ditulis pq (tanpa titik)
Tabel Kebenaranya :
p
|
q
|
p.q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Perhatikan bahwa untuk memudahkan penulisan (bandingkan dengan Konversi desimal ke biner), nilai Salah didahulukan.
b. Operator OR.
Notasi Aljabar Boolenya adalah sebuah tanda tambah (+).
Perbandinganya, pada Proposisi notasinya adalah “v”.
Contoh :
“p atau q”, ditulis p+q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p+q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
c. Operator NOT.
Notasi Aljabar Boolenya adalah dengan memberikan tanda bar diatas variabel atau dengan tanda aksen (Petik tunggal penutup) setelah variabel.
Perbandinganya, pada Proposisi notasinya adalah “~”
Contoh :
“Not p” atau “Negasi p”, ditulis p atau bisa ditulis p’.
Tabel Kebenaranya :
p
|
p
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Contoh soal :
Untuk setiap kalimat dibawah ini, buatlah notasi matematikanya dengan menggunakan Aljabar Boole dan buat juga tabel kebenaranya !
1. Hari hujan dan udara dingin.
2. Hari hujan atau udara dingin.
3. Hari hujan dan udara tidak dingin.
4. Hari tidak hujan atau udara dingin.
5. Tidak benar bahwa hari hujan dan udara dingin.
6. Tidak benar bahwa hari hujan atau udara dingin.
Penyelesaian :
1. Hari hujan dan udara dingin
p = ”hari hujan”
q = “udara dingin”
p.q = “hari hujan dan udara dingin”
Notasinya : p.q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p.q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2. Hari hujan atau udara dingin
p = “hari hujan”
q = “udara dingin”
p + q = “hari hujan atau udara dingin”
Notasinya : p + q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p + q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
3. Hari hujan dan udara tidak dingin
p = “hari hujan”
q = “udara tidak dingin”
Notasinya : p . q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
q
|
p . q
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
4. Hari tidak hujan atau udara dingin
p = “hari tidak hujan”
q = “udara dingin”
p + q = “hari tidak hujan atau udara dingin”
Notasinya : p + q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p
|
p + q
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
5. Tidak benar bahwa hari hujan dan udara dingin.
p = “hari tidak hujan”
q = “udara tidak dingin”
p . q = “tidak benar bahwa hari hujan dan udara dingin”
Notasinya : p . q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p
|
q
|
p . q
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
6. Tidak benar bahwa hari hujan atau udara dingin
p = “hari tidak hujan”
q = “udara tidak dingin”
p + q = “tidak benar bahwa hari hujan atau udara dingin”
Notasinya : p + q
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p
|
q
|
p + q
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
2.2. Operator Turunan.
Seperti pada proposisi, logika matematika pada materi Aljabar boole juga memiliki operasi-operasi dasar. Contoh yang paling sederhana adalah operasi pq + pq.
Operasi ini dikenal sebagai operasi Exclusive-OR atau Eksklusif-ATAU dengan operator XOR.
Operasi-operasi turunan lainya antara lain operasi Not-AND (disingkat NAND), operasi Not-OR (disingkat NOR), dan sebagainya.Operasi-operasi ini sebenarnya tidak menggunakan operator khusus (kecuali operator XOR) karena sebenarnya dapat diturunkan dengan menggunakan operator-operator dasar.
Operator logika XOR sendiri menggunakan notasi +.
a. Operasi XOR.
Notasi Aljabar Boolenya adalah “ + “ .Perbandinganya , pada Proposisi adalah “I”
Contoh :
“p XOR q”,ditulis p + q atau pq + pq atau pq + pq
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p + q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
b. Operasi NAND (Not-AND)
Contohnya adalah kalimat “Tidak benar bahwa hari hujan dan udara dingin”.
Kalimat ini dapat dinotasikan sebagai p . q atau (p . q).
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p.q
|
p . q
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
c. Operasi NOR (Not-OR)
Contohnya adalah kalimat “Tidak benar bahwa hari hujan atau udara dingin”.
Kalimat ini dapat dinotasikan sebagai p + q atau (p + q)’.
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p + q
|
p + q
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Contoh Soal :
Buatlah Kalimat dan buktikan dengan menggunakan Tabel Kebenaranya !
1. p . q
2. p + q
3. p . q
4. p + q
5. p . q
6. p + q
Jawaban :
1. p .q = Awan mendung dan udara tidak dingin
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
q
|
p . q
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
2. p + q = Dina tidak cerdas atau Nilai ujian Bagus
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p
|
p + q
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
3. p . q = Santi tidak kaya dan santi tidak cantik
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p
|
q
|
p . q
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
4. p + q = Tidak benar bahwa saya tidur atau saya belajar.
Tabel Kebenaranya :
p
|
q
|
p + q
|
p + q
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
5. p . q = Tidak benar bahwa saya makan dan minum.
Tabel kebenaranya :
p
|
q
|
p.q
|
p . q
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
6. p + q = Saya lahir di Belitang atau saya lahir di Jawa.
Tabel Kebenaranya :
p
|
q
|
p + q
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Ekspresi Boole
∙ Misalkan (B, +, ., ‘) adalah sebuah Aljabar Boole. Suatu ekspresi Boole dalam
(B, +, ., ‘) adalah :
Setiap elemen didalam B,
▪ Setiap elemen di dalam B,
▪ Setiap peubah,
▪ Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boole, maka e1 + e2, e1 . e2, e1’ adalah ekspresi Boole.
Contoh :
0
1
a
b
c
a + b
a . b
a’.(b + c)
a . b’ + a . b . c + b’, dan sabagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boole
∙ Contoh : a’ . (b + c)
Jika a=0, b=1, dan c=0, maka hasil evaluasi ekspresi :
0’.(1 + 0) = 1 . 1 = 1
∙ Dua ekspresi Boole dikatakan Ekuivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh :
A . (b + c) = (a . b) + (a . c)
Contoh : Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b.
Penyelesaian :
a
|
b
|
a’
|
a’b
|
a + a’b
|
a + b
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
∙ Perjanjian : tanda titik (.) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boole, kecuali jika ada penekanan :
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
a . 0 bukan a0
